\title{金融随机分析}

\subtitle{永久美式看跌期权}
\date{}
% \date{\zhtoday}
% \date{2020年秋季}
\author{\textit{甘湘华}}
\institute{}
\titlegraphic{\hfill\includegraphics[height=0.8cm]{../figure/swufe-logo-wide.jpg}}

\begin{document}

\maketitle
% \begin{frame}{目录}
%   \setbeamertemplate{section in toc}[default] % [sections numbered]
%   \tableofcontents[hideallsubsections]
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%   %    \begin{column}{.45\textwidth}
%   %        \tableofcontents[hideallsubsections,sections=1-4]
%   %    \end{column}
%   %    \begin{column}{.45\textwidth}
%   %        \tableofcontents[hideallsubsections,sections=5-8]
%   %    \end{column}
%   %\end{columns}
% \end{frame}

% \section{永久美式看跌期权}
\begin{frame}[c]{永久美式看跌期权}
  \begin{problem}[]\label{pr:AP_infty_period}
    如图 \ref{fig:pr:AP_infty_period},
    假设利率 $r = 1 / 4$,
    上升因子 $u = 2$, 下降因子 $d = 1 / 2$,
    永久美式看跌期权的敲定价格 $K = 4$.
    假定期初股价 $S_0 = 4$,
    分析在以下三个策略下期权的价值。
    \begin{enumerate}
      \item 立即行权；
      \item 在股价跌至 2 的第一时刻行权；
      \item 在股价跌至 1 的第一时刻行权。
    \end{enumerate}
  \end{problem}

\end{frame}

\begin{frame}[c]{永久美式看跌期权示意图}
  \begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.85\textwidth]{../image/BT-infty-AP.pdf}
    \caption{}
    \label{fig:pr:AP_infty_period}
  \end{figure}[htpb]

\end{frame}

\begin{frame}[c]{计算永久美式看跌期权的价值}
  \begin{problem}[]\label{pr:AP_infty_value}
    基于问题~\ref{pr:AP_infty_period} 的假设，
    计算永久美式看跌期权的价值。
  \end{problem}
  提示：
  \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
    \item
      猜测期权的价值（关于股票价格的函数）
    \item
      验证此函数满足与定理4.4.2类似的三条性质：
  \begin{enumerate}
  \item 对所有的 $n$, $v(S_n) \geq (4 - S_n)^+$;
  \item 贴现过程 $\frac{1}{(1+r)^n}v(S_n)$ 是一个上鞅；
  \item $v(S_n)$ 是满足前两个性质的最小过程。
  \end{enumerate}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{iframe}[c]{贝尔曼方程}
  贝尔曼方程:
    \begin{equation}\label{eq:bellman_equation}
      v(s) = \max\left\{ 4-s, \frac{4}{5} \left[
      \frac{1}{2}v(2s) + \frac{1}{2}v\left(\frac{s}{2}\right)\right] \right\}
    \end{equation}
  \begin{problem}[]\label{pr:bellman_equation}
    证明永久美式看跌期权的价值 $v(s)$ 必定满足贝尔曼方程。
    举例说明满足贝尔曼方程的 $v(s)$ 不一定是永久美式看跌期权的价值。
  \end{problem}
\end{iframe}

\end{document}
